Question

x趋向于正无穷 lim(ln(1+x)/x)^(1/x)=

Answer 1

取对数
lim[ln(ln(1+x)/x)]/x 分母极限是+∞,分子极限是-∞,可以使用罗必塔法则
lim[ln(ln(1+x)/x)]/x =lim[ln(ln(1+x)-ln(x)]/x = lim{1/[(1+x)ln(1+x)]-1/x}/1

=lim[x-(1+x)ln(1+x)]/ [ x(1+x)ln(1+x)]
=lim{1-ln(1+x)-(1+x)[1/(1+x)]}/ { (1+x)ln(1+x)+xln(1+x)+x(1+x)[1/(1+x)]}

=-limln(1+x)/ [(1+2x)ln(1+x)+x]
=-lim [1/(1+x)]/[ 2ln(1+x)+(1+2x)/(1+x)+1]
=-lim1/[2(1+x)ln(1+x)+1+2x+1+x]
=0
元极限=e^0=1

追问

为什么分子极限是-∞,？、、

追答

分子是ln(ln(1+x)/x)
ln(1+x)/x-->0 ln(0+)=- ∞