Question

已知函数f（x）=（2ax-a2+1）/（x2+1）（x∈R），其中a∈R. 当a≠0时，求函数f（x）的单调区间

已知函数f（x）=（2ax-a2+1）/（x2+1）（x∈R），其中a∈R.
当a≠0时，求函数f（x）的单调区间

Answer 1

f(x)=(2ax-a²+1)/(x²+1)
f'(x)=[2a(x²+1)-2x(2ax-a²+1)]/(x²+1)²
=(2ax²+2a-4ax²+2xa²-2x)/(x²+1)²
=2[-ax²+(a²-1)x+a]/(x²+1)²
=-2(x-a)(ax+1)/(x²+1)²
f'(x)=0 解得 x=a or x=-1/a
a>0时 a>-1/a
x<-1/a 时 f'(x)<0 f(x)递减
-1/a<x<a 时 f'(x)>0 f(x)递增
x>a 时 f'(x)<0 f(x)递减
综上
f(x)的递增区间为 (-1/a,a) 递减区间为 (-∞,-1/a)∪(a,+∞)
a<0时 a<-1/a
x<a 时 f'(x)<0 f(x)递减
a<x<-1/a 时 f'(x)>0 f(x)递增
x>-1/a 时 f'(x)<0 f(x)递减
综上
f(x)的递增区间为 (a,-1/a) 递减区间为 (-∞,a)∪(-1/a,+∞)