Question

线性代数中的一些问题：1.导出组基础解系 2.两种求标准型方法的不同 3.和求二次型的标准型的方法。

问题一：求一般线性方程组的解

我们知道，线性方程组的解可以表示为 X= R0 + K1（η1）+K2（η2）+.....
其中R0为方程组的一个特解，η1，η2，...为其导出组的基础解系，k1，k2..为任意常数。
具体过程
我们首先求系数矩阵和增广矩阵的秩，若相同则有解；
接着化增广矩阵为最简型，写出一般解；
（例 x1=-1 x2=x4-x5+1 x3=x4-1 （其中x4，x5为自由未知量））
随意带入x4一个数值，得特解R0；
然后求其导出组的基础解系，然后表示一下即可。

我的问题在
求其导出组的基础解系时，我的参考资料上，直接将（1，0）（0，1）
带入一般解的方程组（x1=-1 x2=x4-x5+1 x3=x4-1 )
得出基础解系η1=（-1，2，0，1，0）η2=（-1，0，-1，0，1）
这好象不是导出组的基础解系啊，我感觉要把一般解中的常数项去掉，再带入不是吗？
资料上这么作对吗？

问题二：
求A的逆矩阵的时候
将 (A|E) 作初等行变换化成 (E|B) 得A的逆矩阵为B
或者

这两种方式都可以吗？
我倒是都见过，但这两种除了一个行变换一个列变换，就没有区别了吗？

问题三：
用合同变换化简二次型为标准型的时候，我们将

那么，得C为A所作的非退化线性替换，B则为二次型的标准型的矩阵

（1）同时我也见到了 (A|E) 化成(B|C) 这种求二次型的标准型的方式，这样也可以吗？有区别吗？
（2）我的参考资料上有一道题，在求二次型的标准型的时候， 用(A|E) 化(B|C) 的方式，竟然用的是初等变换，我很纳闷，不应该是合同变换吗？

望指点，就要期末考试了，不要挂科啊！！！





Answer 1

1. 求导出组的基础解系必须把常数项去掉
2. 两种都可以, 只求逆的话一般用第1种方法
列变换用在解矩阵方程 XA=B
A E
B --> BA^-1
3. 前面说的正确, 一般用这个方法
(1)中所说也能用, 但C不是所求矩阵, 需转置
(2)是用初等变换, 只是要同时用相应的行与列变换
建议不用(1,2)

追问

老师，求标准型时，上面只做了行变换，这方法对吗？

（1）把E写在下方，和右方，这两种方式求标准型，是否都要作行变换后，接着对应的列变换？

（2）哪一种求得的线性替换的矩阵需要转置？或都得转置？

（3）我老师上课的例题，把E写在下方，做了行和对应的列变换，把B化成对角矩阵，C没有转置，为什么呢？

（4）我老师最后化到对角矩阵，没有转置，出的结果；上面的题化到上（下）三角矩阵，转置出结果，我要化到哪步？

追答

这样可以, 它把相应的列变换省略了, 只是最后要转置一下得C.
最终求出的C 是要满足 C^TAC
所以 C 是对A列变换得到的矩阵
所以 (A,E) 得到的C需转置, [A;;E] 得到的C不需转置

Answer 2

这、、。。。。。。X