Question

大一"线性代数"的问题：

已知A是3阶实对称矩阵，A的特征值为1，-1，0，其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及（a,a+1,1)T,求矩阵A ？

这题怎么做呀！求详细解答；我的线性代数水平很低，求详细步骤！谢谢啦~

Answer 1

由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以有 a+a(a+1)+1=0, 即 (a+1)^2=0
所以 a=-1.
所以λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,-1,1)T及(-1,0,1)T
设A的属于特征值-1的特征向量为 (x1,x2,x3)^T
则 x1-x2+x3=0
-x1 +x3=0
得 (1,2,1)^T
令 P=
1 -1 1
-1 0 2
1 1 1
则 P^-1AP=diag(1,0,-1)
所以 A=Pdiag(1,0,1)P^-1 =
1/2 0 1/2
0 1 0
1/2 0 1/2