Question

如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,BE平分∠ABC交AC于点F，交AD于点E，且∠DBF=15°求证OE=EF

Answer 1

证明：
∵矩形ABCD
∴AO＝BO，∠ABC＝∠BAD＝90
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE＝45
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠CBE
∴∠ABE＝∠AEB＝45
∴AE＝AB
∵∠DBF＝15
∴∠ABD＝∠ABE+∠DBF＝45+15＝60
∴等边△AOB
∴∠BAC＝60,AO＝AB
∴∠DAC＝∠BAD-∠BAC＝30,AO＝AE
∴∠AOE＝（180-∠DAC）/2＝75
∵∠EFC＝∠DAC+∠AEB＝75
∴∠AOE＝∠EFC
∴OE＝EF

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Answer 2

∵ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°
OA=OC=OB=OD=1/2AC=1/2BD
∵BE平分∠ABC交AC于点F
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∴∠AEB=∠BAD-∠ABE=90°-45°=45°
∴AB=AE
∠BED=180°-∠AEB=180°-45°=135°
∵∠DBF=15°
∴∠ABO=∠ABE+∠DBF=45°+15°=60°=∠BAO=∠AOB=60°(OA=OB)
∴∠ADB=∠BDE=30°
OA=OB=AB
BD=2OB=2AB
∴BE=√2AB(AE²+AB²=BE²，2AB²=BE²)
∴BE/BD=√2AB/2AB=√2/2
OB/BE=AB/√2AB=√/2
∴BE/BD=OB/BE
∵∠DBE=∠EBO=15°
∴△BOE∽△BED
∴∠BEO=∠BDE=30°即∠FEO=30°
∠BOE=∠BED=135°
∴∠EOF=∠BOE-∠AOB=135°-60°=75°
∴∠EFO=180°-∠FEO-∠EOF=180°-30°-75°=75°
∴∠EFO=∠EOF
∴EF=OE