Question

已知cos(2α-β)=-√2/2，sin(α-2β)=√2/2，且π/4＜α＜π/2，0＜β＜π/4，求cos(α+β)的值

Answer 1

∵π/4＜α＜π/2，∴π/2＜2α＜π，又0＜β＜π/4，∴－π/4＜－β＜0、－π/2＜－2β＜0，
∴π/4＜2α－β＜π、－π/4＜α－2β＜π/2。
∴sin（2α－β）＝√［1－（－√2/2）^2］＝√2/2，
　cos（α－2β）＝√［1－（√2/2）^2］＝√2/2。
∴cos（α＋β）
＝cos［（2α－β）－（α－2β）］
＝cos（2α－β）cos（α－2β）＋sin（2α－β）sin（α－2β）
＝（－√2/2）×（√2/2）＋（√2/2）×（√2/2）
＝0。

追问

π/4＜2α－β＜π、－π/4＜α－2β＜π/2。
这个是怎么出来的？

追答

第一个由π/2＜2α＜π、－π/4＜－β＜0相加得到，
第二由π/4＜α＜π/2、－π/2＜－2β＜0相加得到。

Answer 2

由于π/4＜α＜π/2，0＜β＜π/4，π/2<2α-β<3π/4,0<α-2β<π/4，所以sin(2α-β)=1-cos²(2α-β)=√2/2
同理cos(α-2β)=√2/2，cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β）cos(α-2β）+sin(2α-β）sin(α-2β）=0