Question

用拉格朗日中值定理证明不等式(b-a)/b<㏑b/a<(b-a)/a

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Answer 1

如果a<0,b<0，用-a,-b代替。
如果a>b，可以交换a和b的地位，要证的不等式和a<b的情形形式一样。
下面只讨论a<b的情形。

(ln x)' = 1/x
由中值定理，存在a<c<b使得
lnb - ln a = (b-a) * (ln c)' = (b-a)/c
由于a<c<b，所以1/b < 1/c < 1/a，代入上式，得
(b-a)/b < lnb - lna < (b-a)/a，证毕