Question

【急求 急求】关于柯西不等式的简单问题求解

若将函数y=x+a/x带入柯西不等式 那么由柯西不等式可以得有y^2=(x+a/x)^2<=(1^2+1^2)(x^2+a^2/x^2) 而且x^2=a 时相等 即y^2=(x+a/x)^2<=4a y<=2√a y的最大值为2√a
且函数y=x+a/x 可以求得为y>=2√a 即y的最小值为2√a 因为：[√x+√(a/x) ]^2>=0 即x+a/x>=2√a
正与柯西不等式求值相反 求解问题出在了哪里 求解如何用柯西不等式求该函数最小值

Answer 1

柯西不等式没错，但是它不能估计最小值。
我们得到了
y² <= 2(x² + a²/x²)
x² = a时取等，那样y = 2√a

但是x²不等于a的时候呢？？？？
条件是y <= f(x) = x² + a²/x²，如果你要得到结论y <= 2√a，你至少得说明f(x)<= 2√a，这样逻辑链才对。
但是你反了过来，你说f(x)=2√a在某一个x处成立，所以y <= 2√a……
事实上y根本没有最大值（令x->0），当然f(x)也没有
这题原则上是不能用Cauchy不等式做的

追问

那么柯西不等式的使用有什么限制么 柯西不等式在什么条件下可以使用呢

追答

以是否能解决问题为标准。
如果你要求一个表达式的最小值，但是在柯西不等式中又把这个表达式放在较小的一边（像上面的情况），那么是不能用柯西不等式的。
相反，如果你能构造出一个柯西不等式，使得同样的表达式能出现在较大的一边，这时，柯西不等式就能被用来估计最小值。

使用经典不等式的技巧就在于如何构造合适的不等式（柯西也好，均值也好），并且不等号的方向一定要对（上面所说的）。要靠平时积累经验，哪些估计问题适合用哪些不等式。比如上面的问题，估计最小值用均值不等式最方便的，这样的例子就要积累。