Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于点C，对称轴l与x轴的正半轴相交

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于点C，对称轴l与x轴的正半轴相交于点D，与抛物线相交于点F，点C关于直线l的对称点为E． （1）当a=-2，b=4，c=2时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由； （2）若四边形CDEF是正方形，且AB= 2 ，求抛物线的解析式． 这道题的第一问利用菱形的对角线互相垂直证出此图形为菱形？请您给我一个过程好吗？谢谢，急~！！！！！！！！！！！！

Answer 1

(1)
y = -2x² + 4x + 2 = -2(x - 1)² + 4

C(0, 2), F(1, 4), E(2, 2), D(1, 0)
CD² = (0 - 1)² + (2 - 0)² = 5
DE² = (2 - 1)² + (2 - 0)² = 5
EF² = (1 - 2)² + (4 - 2)² = 5
CF² = (0 - 1)² + (2 - 4)² = 5
四边形CDEF为菱形

另法：CE(y = 2)与x轴平行，DF ( x = 1)与x轴垂直，CE与DF垂直; 交点G(1, 2)等分CE, DF, 四边形CDEF为菱形

(2)
设对称轴x = d, D(d, 0)

AB = 2: A(d -1, 0), B(d + 1, 0)
y = a[x - (d - 1)][x - (d + 1)]
x = 0, y = a(d² -1)
C(0, a(d² -1))
E(2d, a(d² -1))
x = d, y = -a, F(d, -a)
CD² = DE² = d² + a²(d² - 1)²
EF² = CF² = d² + (ad²)²
四边形CDEF是正方形: CD² = CF², d² + a²(d² - 1)² = d² + (ad²)²
(d² - 1)² = d⁴
d² - 1 = d² (无解)
或1 - d² = d², d² = 1/2, d = ±1/√2
CD的斜率p = a(d² - 1)/(0 - d) = a(1 - d²)/d
CF的斜率q = (ad² - a + a)/(0 - d) = -ad
pq = -1, a²(1 - d²) = 1
a² = 1/(1 - d²) = 1/(1 - 1/2) = 2
a = -√2 (舍去a = √2 > 0)
抛物线的解析式 (请自己简化):

y = -√2(x - 1/√2 + 1)(x - 1/√2 -1)
或
y = -√2(x + 1/√2 + 1)(x +1/√2 -1)