Question

已知函数f(x)=x²-2ax+2,g(x)=x(a∈R).(1)判断函数f(x)/g(x)在x∈[2,+∞)上的单调性，并证明

（2）若f(x)＞2g(x)在x∈[2,+∞﹚上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1) 令h(x)=f(x)/g(x)=x+2/x-2a
设x1>x2>=2
则h(x1)-h(x2)=(x1-x2)+2/x1-2/x2=(x1-x2)*(x1x2-2)(x1x2)
因为x1-x2>0, x1x2>=4, 故x1x2-2>0
所以有h(x1)-h(x2)>0
h(x1)>h(x2)
所以函数f(x)/g(x)在区间x>=2单调增

2）x^2-2ax+2>2x, 在x>=2上恒成立
即a<(x^2-2x+2)/(2x)=1/2*(x+2/x)-1=p(x)
由1），知x+2/x在x>=2上单调增，所以p(x)的最小值为p(2)=1/2*(2+1)-1=1/2
因此有a<1/2