Question

已知 M是等边△ABC边BC上的点 如图2 联结AM 过点M作∠AMH=60°

如图2联结AM过点M作∠AMH=60°MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H 过H作HD BC于点D.（ 可以无视掉这段话）
如图32中其它条件不变若点M在BC延长线上时,
①求证 MA=MH ②猜想写出CB,CM,CD之间的数量关系式并加于证明
一定要过程！！！过点M作ME平行AC后，如何证明△AEM≌△MCH????要过程！！！

Answer 1

没有图，根据你题干的描述，我做了个图，大概应该能证明△AEM≌△MCH，其他的就不清楚了，先给你解决这一个问题。
证明△AEM≌△MCH用角边角公式。
如你所说，过点M作ME平行AC，则△BEM也为全等三角形，所以角AEM＝120度，BE＝BM
因为△ABC为全等三角形，所以AB＝BC，所以AB－BE＝BC－BM，即AE＝CM
因为CH是∠ACB的邻补角的平分线，所以角ACH＝60度，所以角BCH＝角ACB+角ACH＝120度
因为角AMC＝角B+角BAM＝60度+角BAM（三角形外角等于两个不相邻的内角和），
角AMC＝角AMH+角CMH＝60度+角CMH，所以角BAM＝角CMH。
致此，在△AEM和△MCH中，角EAM＝角CMH，AE＝CM，角AEM＝角MCH＝120度。
所以△AEM≌△MCH

追问

抱歉我刚刚忘记放图了……我现在把图加上了。

追答

我没找到呀

追问

我放了图了

追答

看到了，第一步的证明没有错，
第二步和第一步相似，同样做ME平行AC交CH于E，
那么△ACM≌△HEM，同样用角边角来证明，
那么就有CM＝EM，BC＝AC＝EH，所以CH＝BC+CM
在直角三角形CDH中，因为角HCD＝60度，所以CH＝2CD
所以BC+CM＝2CD

Answer 2

你要证明的东西好奇怪……
先说M在BC上吧，都差不多。
∵∠AMH=∠ACD = 60，
∴A,M,C,H四点共圆
∴∠AHM = ∠ACM = 60
∴△AMH为等边三角形,AM = MH
再者，显然又有△ACH≌ABM
∴CH = BM
∴AC = AB = BM + CM = MC + HC
（注意，AC=MC+HC是“等边三角形及其外接圆上一点”这种图中最基本的结论了！这里连辅助线都不用做就把结论做出来了）
另一方面，CH = 2CD（因为直角三角形有一个60度）
所以CB = CM + 2CD

如果在延长线上，你还是可以找到一个四点共圆和等边三角形，不过数量关系就变成了（看那个点在哪段劣弧上）
CH = AC + CM
即2CD = CB + CM

Answer 3

）①证明：过M点作MN∥AC交AB于N，
则BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=AC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中

∠ANM=∠MCHAN=MC∠HMC=∠MAN
，

∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
在△BMG和△CHD中

HC=MB∠B=∠HCD∠MGB=∠HDC
，

∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∴BM=2CD
所以BC=MC+2CD；

（3）（2）中结论①成立，②不成立，
过M点作MN∥AB交AC延长线于N，
∵MN∥AB，
∴∠N=∠BAC=60°，
∴∠ACB=60°，
∴∠NCM=60°，
∴∠NMC=180°-60°-60°=60°，
∴△CNM是等边三角形，
∴CM=MN，
∵∠AMH=60°，∠CMN=60°，
∴∠AMH+∠1=∠CMN+∠1，
即∠AMN=∠CMH，
在△AMN和△HMC中

∠HCM=∠N=60°NM=MC∠HMC=∠AMN
，

∴△AMN≌△HMC（ASA），
∴MA=MH；
AN=CH，
∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，
∴∠CHD=30°，
∴CH=2CD，
∵AC=BC，CN=CM
∴AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM，
∵AN=CH，
2CD=CB+CM，
即：CB=2CD-CM．