Question

用换元法解方程(x^2+1/x^2 )+5(x+1/x)-4+=0

Answer 1

解：
(x^2+1/x^2 )+5(x+1/x)-4=0
(x+1/x)^2-2+5(x+1/x)-4=0
(x+1/x)^2+5(x+1/x)-6=0
令：x+1/x=y，代入上式，有：
y^2+5y-6=0
(y+6)(y-1)=0
解得：y1=-6、y2=1
即：x+1/x=-6……………………(1)
或：x+1/x=1……………………(2)
由(1)得：x^2-6x+1=0
x^2-2×3×x+3^2-9+1=0
(x-3)^2=8
x-3=±2√2
解得：x=3±2√2
即：x1=3+2√2、x2=3-2√2
由(2)得：x^2-x+1=0
△=(-1)^2-4×1×1=-3＜0
方程没有实数根。
此时，若要求复数根的话，有：
x^2-2×(1/2)×x+(1/2)^2-1/4+1=0
(x-1/2)^2=-3/4
x-1/2=±√(-3/4)
x=[1±√(-3)]/2
x=(1±i√3)/2
即：x3=(1+i√3)/2、x4=(1-i√3)/2
综合以上，原方程的解是：
x1=3+2√2、x2=3-2√2、x3=(1+i√3)/2、x4=(1-i√3)/2

Answer 2

令t=x+1/x
则t^2=x^2+1/x^2+2, 即x^2+1/x^2=t^2-2
代入原方程：
t^2-2+5t-4=0
t^2+5t-6=0
(t+6)(t-1)=0
t=-6, 1
因为|t|>=2, 所以只能取t=-6
即x+1/x=-6
x^2+6x+1=0
x=-3+2√2, -3-2√2
经检验为原方程的解。

Answer 3

Answer 4

let (x+1/x)=t
t^2=x^2+2+1/x^2
(x^2+1/x^2 )+5(x+1/x)-4=0
t^2-2+5t-4=0
t^2+5t-6=0
(t+6)(t-1)=0
t=-6 or t=1
x+1/x=t
x^2-tx+1=0
x^2+6x+1=0 or x^2-x+1=0(1-4<0,舍去)
(x+3)^2=8
x=2√2-3 or x=-2√2-3