Question

一道貌似巨难的中考压轴题，重金悬赏求大高手（要求正确完整可懂）

如图，已知C（3,0）A（0,4）P,Q为OC AC上的动点，且速度都为1个单位长度每秒，连接PQ，且作FE，使FE保持垂直平分PQ
1：求AC解析式
2：求S△PQC与运动时间T的关系式
3：请问当T为何值时，四边形EFQA为梯形，又请问T为和值时，FE过原点？
P从O出发向C运动，到C后返回，Q人人C出发向A运动，到A后两点停止运动

Answer 1

AC解析式：y=(-3/4)x+4
由题意得到 P点坐标为（T,0） T<=3
设Q（a，b）满足y=(-3/4)x+4 b=-3a/4+4 Q点在y轴上的投影Q1 有三角形AOC 相似 三角形QQ1C 得到AC/OC=T/QC QC=3-a a=3T/5 Q(3T/5,-4T/5+4)
S=1/2PCXQQ1=1/2 (3-T)(-4T/5+4) T<=3
3<T<=5 时 S=1/2(T-3)(-4T/5+4)

追问

我怎么觉得你第二个做错了，带入数字1，2，3都不对哎

追答

我开始把解析式写错了，应该是-4/3X+4，你重新代下看对不对AC解析式：y=(-4/3)x+4
由题意得到 P点坐标为（T,0） T<=3
设Q（a，b）满足y=(-4/3)x+4 b=-4a/3+4 Q点在y轴上的投影Q1 有三角形AOC 相似 三角形QQ1C 得到AC/OC=T/QC QC=3-a a=3-3T/5 Q(3-3T/5,12T/15)
S=1/2PCXQQ1=1/2(3-T)X12T/15 T<=3
3<T<=5 时 S=1/2(T-3)X12T/15
3;当EFQA为梯形，EF垂直FQ 三角形PQC为直角三角形
cosC=T/(3-T)=OC/CA=3/5 T<=3 cosC=T/T-3=3/5 3<T<=5 得到T1=9/8 T2=-9/2
所以T=9/8
根据垂直平分线上的点到两端的距离相等。
所以有OP=OQ

追问

呵呵，还有个答案是15/8，最后的是2.5

追答

Q(3-3T/5,12T/15) 所以OQ=根号（3-3T/5）^2+(12T/15)^2
OP=T (03时 OP=3-（T-3)=6-T （3-3T/5）^2+(12T/15)^2=(6-T)^2 T=45/14 满足条件

追问

第二个错了，不是45/41

追答

有OP=OQ 所以（3-3T/5）^2+(12T/15)^2=T^2 得到T=2.5 符合条件

Answer 2

1,AC:y-0=(x-3)(4-0)/(0-3)=-4x/3+4,y=-4x/3+4
2,P从O到C再往O,Q从C到A,则PC=|3-t|,QC=t<=5,S△PQC=PC*QC*4/5=4|3-t|t/5
3,P(|3-t|,0),Q(3-3t/5,4t/5),当PQ平行OA或垂直AC时四边形EFQA为梯形
当PQ平行OA,3-3t/5=|3-t|,t=15/4或=0
当PQ垂直AC,(4t/5)/(3-3t/5-|3-t|)=3/4,4t/5=3(6-8t/5)/4,t=9/4

FE过原点?,设F(x,y),y=2t/5,x=|3-t|+(3-3t/5-|3-t|)/2或x=3-3t/5+[|3-t|-(3-3t/5)]/2
且x/y=-(4t/5)/(3-3t/5-|3-t|)，解出t即可
y=2t/5,x=|3-t|+(3-3t/5-|3-t|)/2或x=3-3t/5+[|3-t|-(3-3t/5)]/2
即y=2t/5,x=(|3-t|+3-3t/5)/2=3-4t/5或y=2t/5,x=(|3-t|+3-3t/5)/2=t/5
x/y=-(4t/5)/(3-3t/5-|3-t|)，即x/y=-(4t/5)/(6-8t/5)或x/y=-2
所以(3-4t/5)/(2t/5)=-(4t/5)/(6-8t/5),或1/2=-(4t/5)/(6-8t/5),或(3-4t/5)/(2t/5)=-2
所以(3-4t/5)/(2t/5)=-(4t/5)/(6-8t/5),(15-4t)(30-8t)=-8t^2,40t^2-240t+450=0,(t-3)^2+9/4=0
所以不管t为何值，FE不可能过原点

追问

这个过原点的，我主要是问第二问和第三问探究1，因为这个我没有答案
我做的答案是；9/8和15/8，2.5

追答

OAC是直角三角形,OC=3,OA=4,
PC=|3-T|,QC=T5,这个可以略去)
当PQ垂直AC,(4t/5)/[3-3t/5-(3-|3-t|)]=3/4,4t/5=3(|3-t|-3t/5)/4,
4t/5=3(3-t-3t/5)/4,t=9/8;{或4t/5=3(t-3-3t/5)/4,4t/5=3t/10-9/4,t=-9/2<0,这个可以略去}

FE过原点?,设F(x,y),y=2t/5,x=(3-|3-t|+3-3t/5)/2,x=t/5+3或x=9/2-4t/5
且x/y=-(4t/5)/[3-3t/5-(3-|3-t|)]=-(4t/5)/(|3-t|-3t/5),x/y=-(4t/5)/(3-8t/5)或x/y=-(4t/5)/(2t/5-3)
(t/5+3)/(2t/5)=-(4t/5)/(3-8t/5);(t+15)(15-8t)=-8t^2,t=15/7
(t/5+3)/(2t/5)=-(4t/5)/(2t/5-3);(t+15)(2t-15)=-8t^2,2t^2+3t-45=0,t=[(369)^0.5-3]/4
(9/2-4t/5)/(2t/5)=-(4t/5)/(3-8t/5);(45/2-4t)(15-8t)=-8t^2,t^2+3t-135/16=0,t=[(171/4)^0.5-3]/2
(9/2-4t/5)/(2t/5)=-(4t/5)/(2t/5-3);(45/2-4t)(2t-15)=-8t^2,t=-45/2<0