Question

一道对数函数的题

对于任意两个实数a,b定义运算“●”如下a●b={a,a≤b b,a＞b}，则函数f(x)=log1/2（3x-2)●log2X的值域为?
答案是（负无穷大，0],可我算的是（负无穷大，-1]?

Answer 1

是你算错了。
首先函数f(x)=log1/2(3x-2)●log2x的定义域是x>2/3
1)
当log1/2(3x-2)≤log2x，即log2(1/(3x-2))≤log2x，等价于1/(3x-2)≤x
即：(1-3x^2+2x)/(3x-2)≤0，故：1-3x^2+2x≤0，即(3x+1)(x-1)≥0
解得：x≥1(考虑了定义域)，此时函数f(x)=log1/2(3x-2)=-log2(3x-2)
2)
当log1/2(3x-2)>log2x，即log2(1/(3x-2))>log2x，等价于1/(3x-2)>x
即：(1-3x^2+2x)/(3x-2)>0，故：1-3x^2+2x>0，即(3x+1)(x-1)<0
解得：2/3<x<1(考虑了定义域)，此时函数f(x)=log2x
在2/3<x<1区间上，1-log2(3)<f(x)<0
在x≥1时，log1/2(3x-2)≤0
所以在f(x)的定义域x>2/3上，函数值域为(-inf,0]

追问

谢谢，但再问一下：
“在x≥1时，log1/2(3x-2)≤0“这一步如果这样做是不是错的：log1/2(3x-2)≤0log2(2-3x)《=0

追答

log1/2(3x-2)=-log2(3x-2)≤0，可以推出：log2(3x-2)≥0
但如果真数也变化的话，也是可以的，但前提是不能改变函数的定义域
不知是你写错了还是怎么，怎么会写成log2(2-3x)呢？这样定义域就不同了
真数的变形主要是以幂次为主，比如3x-2=1/(3x-2)^(-1)
但一定记住，不能改变函数的定义域！！

Answer 2

f(x)的实质是取log1/2 3x-2和log2 x的较小值，因为这两个对数函数的定义域都是R ，且一个是增函数一个是减函数，所以两个对数函数的交点的纵坐标即为f(x)的最大值，所以有log1/2 3x-2=-log2 3x-2=log2 x,两边取指数2，则有1/(3x-2)=x x>0 解得x=1，带入log2 x中，f(x)max=0,所以值域为(-∞，0]

追问

这个方法不错，谢谢！