Question

设向量组α1，α2，α3线性无关,向量β1可由α1，α2，α3线性表示,面β2向量不能由α1，α2，α3线性表示

设向量组α1，α2，α3线性无关,向量β1可由α1，α2，α3线性表示,面β2向量不能由α1，α2，α3线性表示，证明向量组α1，α2，α3，β1+β2线性无关。

Answer 1

• 向量β1可由α1，α2，α3线性表示

• β1=Aα1+Bα2+Cα3

•  

• 如果α1，α2，α3，β1+β2线性有关

• β1+β2=A'α1+B'α2+C'α3

   

• β2=A'α1+B'α2+C'α3-β1

• =A'α1+B'α2+C'α3-(Aα1+Bα2+Cα3)

• =(A'-A)α1+(B'-B)α2+(C'-C)α3

• 和

• β2向量不能由α1，α2，α3线性表示

   

• 相矛盾

•  

   

   

Answer 2

设x·α1+y·α2+z·α3+w(kβ1+β2) = 0.
由β1可由α1, α2, α3线性表示, 可设β1 = a·α1+b·α2+c·α3, 代入得
(x+awk)α1+(y+bwk)α2+(z+cwk)α3+w·β2 = 0.
于是w = 0, 否则β2 = -(x/w+ak)α1-(y/w+bk)α2-(z/w+ck)α3被α1, α2, α3线性表示.
带回得x·α1+y·α2+z·α3 = 0.
而由α1, α2, α3线性无关, 有x = y = z = 0.
组合系数只有零解, 即α1, α2, α3, kβ1+β2线性无关.