Question

定义在[-1,1]上的奇函数f(x),已知当x属于[-1,0]时，f(x)=1/4^x－a/2^x（a属于R). ...

定义在[-1,1]上的奇函数f(x),已知当x属于[-1,0]时，f(x)=1/4^x－a/2^x（a属于R). (1)求f(x)在[0,1]上的最大值； （2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

解:
x∈[-1,0],则-x∈[0,1]
f(-x)=1/4^(-x)－a/2^(-x)=4^x-a*2^x
∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=a*2^x-4x,x∈[0,1]
令t=2^x, t∈[1,2]
则g(t)=at-t²=-(t-a/2)²+a²/4
当a/2≤1,即a≤2时,g(t)有最大值g(1)=a-1
当1<a/2<2，即2<a<4时，g(t)有最大值g(a/2)=a²/4
当a/2≥2时,即a≥4时，g(t)有最大值g(2)=2a-4
综上所述，a≤2时，最大值为a-1, 2<a<4时，最大值为a^2/4, a≥4时，最大值为2a-4
(2)
f(x)=a*2^x-4x,
f'(x)=2^x*ln2(a-2*2^x)
f(x)是[0,1]上增函数，所以有
f'(x)≥0恒成立
即a-2*2^x≥0恒成立
解得a≥2*2^x
x∈[0,1]所以2^x∈[1,2]
所以a≥4

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Answer 2

令y=f(x),u=2^x,y=-f(-x)=au-u^2,
(1)由u^2-au+y=0,必满足
a^2-4y>=0,即y<=1/4a^2, 此为最大值。
(2)若u1>u2则y1>y2,即
au1-u1^2-(au2-u2^2)>0,
a>u1+u2
取max(u1+u2)=4,有
a>4

Answer 3

（1）根据奇函数定义能求出
即f（-x）=-f（x） 答案自己算下
（2）可以求导啊
这个应该很简单吧