Question

已知f（x）=sinx方+2sinxcosx+3cosx方 求（1）最小正周期，增区间， 92） 最大值及此时x的去值集合

（3）若x∈【0，π/2】 求值域

Answer 1

(1)、f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=(sin²x+cos²x)+sin2x+(2cos²x-1)+1
=sin2x+cos2x+2
=√2(√2/2*sin2x+√2/2cos2x)+2
=√2sin(2x+π/4)+2
最小正周期为：T=2π/2=π
单调增区域为：-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ，k为整数
-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ，k为整数
即增区间为：[-3π/8+kπ，π/8+kπ]，k为整数
(2)、当sin(2x+π/4)=1时，f(x)有最大值√2+2
此时:2x+π/4=π/2+2kπ，k为整数
即x=π/8+kπ，k为整数
则x的取值集合为：{x|x=π/8+kπ}，k为整数
(3)、若x∈[0，π/2]
则2x+π/4∈[π/4，5π/4]
∴-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1
∴1≤√2sin(2x+π/4)+2≤√2+2
即值域为：[1，√2+2]

追问

∴-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1 怎么得到的

追答

画出大致波形图！
2x+π/4∈[π/4，5π/4]
当2x+π/4=π/2时，取得最大值1；当2x+π/4=5π/4时，取得最小值-√2/2、
∴-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1

Answer 2

f(x)=sinx(sinx cosx)=sinx方 sinxcosx=-cosx sinx =根号倍的sin(x-π/) 所以最小正周期为π，最大值为根号