Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=3an-2an-1（n≥2且n∈N‘’）,令bn=

an+1-an
证明:数列{bn}是等比数列，求其通项公式
求数列{an}的通项公式

Answer 1

n≥2时，
a(n+1)=3an-2a(n-1)
a(n+1)-an=2an-2a(n-1)=2[an-a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2，为定值。
a2-a1=3-1=2
数列{a(n+1)-an}是以2为首项，2为公比的等比数列。
bn=a(n+1)-an
数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列。
bn=2×2^(n-1)=2^n
数列{bn}的通项公式为bn=2^n

a(n+1)-an=2^n
an-a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2+2^2+...+2^(n-1)=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)=2^n -2
an=a1+2^n -2=1+2^n -2=2^n -1
数列{an}的通项公式为an=2^n -1。