Question

量子力学中用傅里叶变换推导出一维位置表象 和动量之间的概率关系，请问是怎么推的？

Answer 1

step1：复平面的矢量内积，从复数相乘的几何意义上可以看出，复数矢量的内积是：模相乘，角相减（后面那个要复共轭），由此将内积概念从实数矢量推广到复数矢量。
step2：从矢量内积推广到函数内积：将矢量（a1,a2,a3,……,an）看做数列，由序数映射到a （n到an），所以函数也可以看成矢量，不过是连续矢，而不是真正矢量那样的离散矢。这样，类似的定义函数（复变函数）的内积、函数（复变函数）的正交。
step3：复函数的内积空间：希尔伯特空间。傅里叶变换可看做由一组矢量构成的矩阵的行列变换，将每一行矢量的特定元素拿出来（拿的方法是利用正交性，将该行矢量投影在列元素的本征函数上）组成一列，这就是表象变换，不过也是连续的不是离散的。由这个粗糙的模型也可以看出不确定关系，一个列中有确定的列序数，但不知道行序数（没有一样的本征元）。
tips：一般教材上的表达方式不容易看出数学内涵，虽然内容一样，鄙人以为写成如下形式会方便我们理解：
ψ(x,t)=∫ ψx*(p) c(p,t) dp
c(p,t)=∫ ψp*(x) ψ(x,t) dx
其中ψp(x)=ψx*(p)

追问

好复杂啊。。。。。书上是这样写的：

我们可以利用傅里叶位置表象与动量表象联系起来：

能不能直接推导出这两个式子？

追答

那你只需要知道后面那个部分是坐标表象下的动量本征函数就行了

Answer 2

W表示：Wigner distribution was introduced in terms of the position q and momentum p operators .

In the following we derive an explicit expression for the Wigner-
Weyl distribution W(a,a*). First we mention that W(a,a*) is the
Fourier transform of the function Tr[pexp(—P(a+) + (P*)a)]/Pi^2. We also
note that exp(—2|a|^2) is the Fourier transform of exp(—|P|^/2)/2Pi.