Question

已知函数f（x）=loga（底）（1-mx）/（x-1） （a>0,a≠1,m≠1)是奇函数。

（1） 求实数m的值
（2） 判断函数f(x)在（1,+∞）上的单调性并证明
（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是(1,﹢∞），求实数a与n的值

Answer 1

(1)
f(x)+f(-x)=0
loga (1-mx)(1+mx)/[(1-x)(1+x)]=0
解得
m^2=1
m=-1
f(x)=loga (x+1)/x-1)=loga [1+2/(x-1)]
(2)
g(x)=1+2/(x-1)

在 (1,﹢∞）单调递减。
当a>1,f(x)单调递减
当0<a<1,f(x)单调递增
（3）
当a>1
g(x)属于(a,﹢∞）
令（n，a-2）=(1,（a+1)/(a-1))
n=1
a=2+3^(1/2)
令（n，a-2）=(（a+1)/(a-1),1)
n=2,
a=3不成立
当a<1
g(x)属于(0,a)
令（n，a-2）=((a+1)/(a-1),0)
a=2
n=3不成立
令（n，a-2）=(0,(a+1)/(a-1))
n=0
a=2-3^(1/2)不成立
综上
n=1
a=2+3^(1/2)

Answer 2

(1)定义域必须关于原点对称，（1-mx）/(x-1)>0==>m(x-1/m)/(x-1)<0
当m=0时,x>1 不合
当m>1时,1/m<x<1; 不合
当0<m<1时,1<x<1/m, 不合
当m<0时x<1/m或x>1 当m=-1时,符合题意 f(x)=loga(x+1)/(x-1)
当m=-1时，f(-x)=loga(-x+1)/(-x-1)=loga(x-1)/(x+1)
=loga[(x+1)/(x-1)]^(-1)
=-loga(x+1)/(x-1)=-f(x) ∴m=-1
(2)f(x)=loga(x+1)/(x-1)设t(x)=(x+1)/(x-1)
令1<x1<x2, t(x1)-t(x2)=(x1+1 )/(x1-1)- (x2+1)/(x2-1)
=[(x1+1)(x2-1)-(x2+1)(x1-1)]/(x1-1)(x2-1)
=2(x2-x1)/ (x1-1)(x2-1)
此时，分子分母都>0, ∴t(x1)>t(x2), t(x)在（1，∞）上单调递减
当a>1时，t(x)在（1，∞）上单调递减
当0<a<1时，t(x)在（1，∞）上单调递增
（3） 还没解决