Question

高数微积分第十题

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Answer 1

设F(x)=f(x)从0到x的积分，则F(0)=0，且F'(x)=f(x)。
则由拉格朗日中值定理，存在某个0到1之间的实数a，满足(F(1)-F(0))/(1-0)=f(a)，即f(a)=F(1)=从0到1积分 f(x)，这个实数a是本题证明的关键点。

对于任意的在0和1之间的x，
|f(x)-f(a)|=|从a到x的积分f'(x)| <=从min(a,x)到max(a,x)积分 |f'(x)| <=从0到1的积分 |f'(x)|。
其中min(a,x)代表a和x里的较小数，max(a,x)表示a和x里的较大数。

而|f(a)|=|F(1)|=|从0到1积分 f(x)|<=从0到1积分 |f(x)|。

因为对任意两个实数x和y，都必满足|x+y|<=|x|+|y|这个不等式，所以
|f(x)|=|f(a)+f(x)-f(a)|<=|f(a)|+|f(x)-f(a)|<=从0到1积分 |f(x)|+从0到1的积分 |f'(x)|。

注：f(x)=C（常值函数）的时候，是可以取到等号的。
注：关于|积分f(x)|<=积分|f(x)|，是因为-|f(x)|<=f(x)<=|f(x)|，然后两边积分，就可以证明了。

Answer 2

大哥~连发5题……不是考试~有点怀疑哦……。。

追问

我发了十道题，审核了2小时才发出来，考试早就时间过了……