Question

从0…9中任取四个数字组成的四位数使其能够被3整除，共有多少种？

使用排列与组合的模型解，急啊

Answer 1

共有：1050种

余数0：0、3、6、9；余数1：1、4、7；余数2：2、5、8。

1. 3个余数1+1个余数0----3*P[3，3]+3*P[4，4]=84种。

3个余数2+1个余数0----同上84种。

2. 4个余数0----P[4，4]-P[3，3]=18种。

3. 1个余数1+1个余数2+2个余数0------含0：3*3*3*3*P[3，3]=486种；不含0：3*3*C[3，2]*P[4，4]=648种。

4. 2个余数1+2个余数2：C[3，2]*C[3，2]*P[4，4]=216种。

两个常用的排列基本计数原理及应用

1、加法原理和分类计数法：

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

2、乘法原理和分步计数法：

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

Answer 2

0到9共10个数字，分成三组：
【A】：0、3、6、9；
【B】：1、4、7；
【C】：2、5、8
(1)A组的元素组成的四位数可以的，共有：3×A(3,3)=18个；
(2)B组中三个加一个A组的、或者C组中三个加A组一个，也可以的。
共有：①若A组的0没选上，则：3×[A(4,4)＋A(4,4)]=144个；②若A组的0被选上，则：[C(1,3)×A(3,3)]×2=36个
(3)B、C中各2个也可以的。共有：C(2,3)×C(2,3)×A(4,4)=216
(4)B、C中各取一个，再在A中取2个，也可以的。则：
①若在A中没取到0，则：C(1,3)×C(1,3)×C(2,3)×A(4,4)=648；②若在A中取到0，则：C(1,3)×C(1,3)×C(1,3)×C(1,3)×A(3,3)=486

一共有：18＋144＋36＋216＋648＋486=1548

Answer 3

分为3组
0组：0369
1组：147
2组：258
有如下组合：
0000：3*3*2*1=18种
0012：6*3*3*3*3+6*3*4*3*3=1134种
0111：3*3*2*1+3*4*3*2*1=90种
0222：同上=90种
1212：6*3*2*3*2=216种
共1548种

Answer 4

能被3整除的数即各个数位加起来是三的倍数。把0到9按除以3余数分三组（0369）（147）（258），三组分别为ABC的话取到和为3倍数有如下取法aaaa,aabc,abbb,accc,bbcc（注：accc指A组取1个，B组取0个C组取三个）用乘法原理即可，然后排列，注意0不能排第一位。答案如果我没算错是1224，不一定对，自己验算

Answer 5

余数0：0、3、6、9；余数1：1、4、7；余数2：2、5、8
1. 3个余数1+1个余数0----3*P[3，3]+3*P[4，4]=84种
3个余数2+1个余数0----同上84种。
2. 4个余数0----P[4，4]-P[3，3]=18种。
3. 1个余数1+1个余数2+2个余数0------含0：3*3*3*3*P[3，3]=486种；不含0：3*3*C[3，2]*P[4，4]=648种。
4. 2个余数1+2个余数2：C[3，2]*C[3，2]*P[4，4]=216种。
综上，共有：1050种