Question

关于函数极限的判断题，求反例。

两个函数积得极限是零。则至少有一个函数的极限是0.这句话是错误的.求反例

Answer 1

两函数乘积的极限为零，那么各自的极限不一定有一个为零。
例如： 狄利克雷函数 D(x) =1, 当x为有理数； D(x) =0，当x为无理数。(D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n})，这是个处处不连续处处不可导的函数。这个函数也可以解释你提出的问题。
设 f(x) = D(x)，
g(x) = 0, 当x为有理数； g(x) = 1，当x为无理数。
则 F(x) = f(x) * g(x) ≡（这个符号是恒等） 0, F(x)在任意点的极限都是0，
但是 f(x) 及g(x) 在任一点处都没有极限（即极限不存在。）

Answer 2

f(x)= 1 x=0， g(x)= 0 x=0，
0 任何别的值 1 任何别的值
f和g在0都不连续因此极限都不存在。乘起来恒等于0