Question

一道复数数学题求解

设某个多边形的顶点在复平面中均为形式为1+z+z2+……+zk-1的点其中|z|<1。则点z=0有性质( ) A.一定是该多边形上的点 B.一定不是多边形上的点 C.不一定是多边形上的点 D.恰恰是多边形的边界点

Answer 1

令f(z)=1+z+z^2+...+z^(k-1)，f(z)=(1-z^k)/(1-z)，|f(z)|=|1-z^k|/|1-z|，由于|z|＜1，所以|z^k|=|z|^k＜1，所以|f(z)|≥(1-|z^k|)/(1+|z|)＞(1-|z|^k)/2＞0，即|f(z)|＞0，所以z=0一定不是多边形的顶点。