Question

一道几何题（关于圆的）

如图，△ABC是RT△，角ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE。
1.求证，DE于圆O相切
2.若，圆O的半径为根号3，DE=3，求AE。

Answer 1

1、连接OE、BE

∵AB为圆O直径

∴∠AEB=90°

∴△ABE≌△ABC

∴∠OBE=∠C

∵OE=BE

∴∠OBE=∠OEB

∵D为RT△ABC的中点

∴ED=DC

∴∠C=∠EDC

∴∠C=∠ED=∠OBE=∠OEB

∵OA=OE

∴∠OAE=∠OEA=∠C=∠EDC

∴∠EDB=∠OAE ∠AOE=∠BDE=2∠C

∴△AOE≌△EBD

∴∠DEB=∠AEO

∴∠DEB+∠OEB=∠C+∠BAC=90°

∴DE于圆O相切

2、

∵△AOE≌△EBD

∴AE:BE=OE:DE=√3:3

∵AB=2√3、△ABE为RT△

∴AE=√3

Answer 2

1、连接BE，OD
∵AB是直径
∴∠AEB=∠BEC=90°
∵O是AB中点，D是BC中点
∴OE=OB，BD=DE=1/2BC
∵OD=OD
∴△BOD≌△EOD(SSS)
∴∠OED=∠OBD=∠ABC=90°
即OE⊥DE
∴DE于圆O相切
2、∵DE=BD=CD=1/2BC
AB=2OA=2√3
∴BC=2DE=6
∴在Rt△ABC中：AC²=AB²+BC²=(2√3)²+6²=48
AC=4√3
∵∠AEB=∠ABC=90°
∠BAE=∠CAB
∴△ABC∽△AEB
∴AB/AC=AE/AB
AE=AB²/AC=(2√3)²/4√3=√3