Question

分块矩阵求行列式的值

A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，且｜A｜＝a,|B|=b,分块矩阵C＝（OA
BO）,则｜C｜＝？答案(-1)的mn次方乘ab,怎么算的？

Answer 1

先要知道
A 0
0 B
的行列式等于 |A||B|
对于 C=
0 A
B 0
将A的第1列所在列, 依次与前面 m 列交换, 一直交换到C的第1列, 共交换m次
将A的第2列所在列, 依次与前面 m 列交换, 一直交换到C的第2列, 共交换m次

如此下去, 结果为
A 0
0 B
共交换 m+m+...+m = mn 次
所以 |C| = (-1)^mn |A||B|

Answer 2

两行交换一次行列式换号
第m行做相邻交换到最后一行(做了n次)，第m-1行做相邻交换换到倒数第二行(做了n次)，……第一行做相邻交换到倒数第m行（做了n次）
|C|=（-1）^mn|（ B O， O A)|

Answer 3

|C| = (-1)^(mn) * |(A0 0B)| = (-1)^(mn)*a*b