Question

设β1是n阶矩阵A属于特征值λ1的特征向量，β2，β3是A属于特征值λ2的特征向量，λ1≠λ2，证明：

设β1是n阶矩阵A属于特征值λ1的特征向量，β2，β3是A属于特征值λ2的特征向量，λ1≠λ2，证明：β1，β2，β3线性无关。

Answer 1

"β2，β3是A属于特征值λ2的特征向量"
没有线性无关的条件?

追问

有的 我忘打了。。β2，β3是A属于特征值λ2的线性无关特征向量

追答

设 k1β1+k2β2+k3β3=0
假如 k1β1≠0,k2β2+k3β3≠0
则它们分别是属于特征值λ1,λ2的特征向量
但属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1β1=0 或 k2β2+k3β3=0
这两个情况都可得 k1=k2=k3=0
所以 β1,β2,β3线性无关

追问

能不能这样想
k1β1+k2β2+k3β3=0，由于AX= λX，左乘有
k1λ1β1+k2λ2β2+k3λ2β3=0，再用λ2左乘有
k1λ2β1+k2λ2β2+k3λ2β3=0，上面减下面有k1(λ1-λ2)β1=0 λ1≠λ2所以k1=0

k1等于0以后β2，β3线性无关所以k2=k3=0
刚受您那个思路启发的

追答

不错哈