Question

用初中知识证明圆内接三角形面积最大时是正三角形~

证明过程麻烦请写一下。谢谢！！！

Answer 1

设三角形abc外接圆半径为r，则
s三角形abc=（1/2)absinc=2r^2sinasinbsinc<=2r^2[(sina+sinb+sinc)/3]^3（均值不等式）<=2r^2{sin[(a+b+c)/3]}^3=(3√3/4)r^2（琴生不等式）
等号当sina=sinb=sinc,即a=b=c时成立，所以当三角形为正三角形时面积最大。

Answer 2

对于圆内接任意一个三角形，当固定一边时，在这个边的同一侧，如果另外两边长相等时三角形的面积，一定大于另外两边不相等时的面积。即固定边为底，在底边的同一侧，内接等腰三角形的面积要大于非等腰三角形的面积。
得到一个等腰三角形后，再以一个腰为底，再构造新的等腰三角形，这个新等腰三角形的面积会更大一点。依此类推，不断这样构造，会无限接近于等边三角形。
严格的证明过程要这样：首先要证明，对于任意一个非等腰三角形，总可以找到一个等腰三角形的面积比它大；其次再证明任何一个等腰三角形的面积一定小于等边三角形。这两个命题均好证，具体过程我就不写了。

Answer 3

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