Question

8、如图，Rt△ABC中，∠A=90º，AB=AC=4，点D是BC边的中点，点E是AB边上一动点(不与A、B重合)

8、如图，Rt△ABC中，∠A=90º，AB=AC=4，点D是BC边的中点，点E是AB边上一动点(不与A、B重合)，DF⊥DE交AC于F。设BE=x，FC=y。（1）求证：DE=DF；（2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的定义域。 (3)写出x为何值时，EF∥BC？

Answer 1

1) 联结AD，则AD是BC边上的中线

    由AB=AC，等腰三角形三线合一知AD也是BC边上的高，且AD平分∠BAC

    由于∠BAC=90°，AD平分∠BAC，所以∠EAD=BAC/2=90°/2=45°

    由于△ABC是等腰直角三角形，所以∠C=45°，即∠EAD=∠C

    由于AD⊥BC于D，所以∠ADC=90°，即∠ADF+∠FDC=90°

    而已知DF⊥DE，所以∠EDF=90°，即∠EDA+∠ADF=90°

    所以∠EDA=∠FDC=90°-∠ADF

    在Rt△ABC中，∠BAC=90°，由直角三角形斜边中线长是斜边长的一半知AD=BC/2=CD

    已证∠EAD=∠C，AD=CD，∠EDA=∠FDC

    所以△ADE≌△CDF，有DE=DF

2) 由上一小题已证△ADE≌△CDF，所以AE=CF，有AB=BE+AE=BE+CF

    而AB=4，BE=x，CF=y，所以4=x+y，即y=-x+4

    由于E是线段AB上的动点，且不与A、B重合，所以0<BE<AB，即0<x<4

    所以解析式为y=-x+4 (0<x<4)

3) 当EF∥BC时，有∠AFE=∠C，第一小题中已证∠C=45°

    所以∠AFE=45°，加上∠FAE=90°，得△AEF是等腰直角三角形

    所以AE=AF，又AB=AC，所以AB-AE=AC-AF，即BE=CF，也就是x=y

    而y=-x+4，所以x=-x+4，解得x=2，在定义域内

    所以当x=2时，有EF∥BC