Question

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并保证三角板的两直角边PE、PF分别与线段AC、AB相交，交点分别为N、M．线段MN、AP相交于点D．
（1）请你猜出线段PM与PN的大小关系，并说明理由；
（2）设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，试用关于x的代数式表示y；
（3）当三角板运动到使DM:AM=4:5时，求AM

Answer 1

(1)

△BPM与△APN中

BP=AP

∠PBM=∠PAN=45

∠BPM=90-∠DPM=∠APN

△BPM≌△APN

PM=PN

 

(2)

S△PMN=S△ABC-S△BPM-S△AMN-S△PCN

S△ABC=1/2x2x2=2

S△BPM=1/2x(2-x)x1=1-1/2x

S△AMN=1/2x(2-x)=x-1/2x^2

S△PCN=1/2x1x=1/2x

S△PMN=y=2-(1-1/2x)-(x-1/2x^2)-1/2x=1/2x^2-x+1

y=1/2x^2-x+1

 

(3)

根据已知条件得A、N、P、M四点共圆

易证明△ADM∽△PDN∽△APN

PN:AP=4:5

AP=√2

PN=4/5√2

S△PMN=1/2x4/5√2x4/5√2=16/25

由（2）得

1/2AM^2-AM+1=16/25

25AM^2-50AM+18=0

AM=(5±√7)/5