Question

一阶线性微分方程通解公式的问题

关于那个一阶线性微分方程的通解公式，在使用的时候为什么e^(-p(x)dx积分）中指数积出来不加个任意常数c呢？好像加了c结果会不一样啊？知道的快帮帮我吧！谢谢了！

Answer 1

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³ 

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx 

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] 

y/(x-2)=(x-2)² C   (C是积分常数)         

y=(x-2)³ C(x-2)      

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。

对于一阶非齐次线性微分方程：

其对应齐次方程:

解为：

令C=u(x)，得:

带入原方程得：

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

Answer 2

1、楼主问的问题是涉及积分因子的问题，而求积分因子的目的是在寻求全微分；
2、也就是说，在微分方程的左侧乘以一个积分因子，就使得左侧变成全微分形式。
3、如果在积分中加入积分因子，结果只是等于在积分因子前，乘上了一个e^c的常
数，这个常数对全微分没有丝毫贡献，也没有丝毫影响。所以，通常就省去了。
4、左侧乘上积分因子后，右侧同样乘以积分因子，因为左侧的导函数、原函数都
一次性地解决了，方程的右侧变成了一个单纯的积分问题，不再涉及导函数与原
函数的纠缠。

如有不明白之处，欢迎追问。

追问

你讲得深了，我不大明白，为什么乘上了一个e^c的常
数，这个常数对全微分没有丝毫贡献，也没有丝毫影响。

追答

对一个函数求导，函数前面的系数，无论你当成函数，还是当成常数，
最后的结果是一样的：

如果你当成函数，那么就是使用乘积的求导；
如果你当成常数，那么你就不管常数只对变量求导。
这样两种求导的结果都是一样的，那就是不管系数，只对变量求导。
注意：这里不是指常数项。

积分因子的获得，目的在于使得微分方程左侧能够变成全微分，一步到位积出出来，
这是微分方程的最根本的思想。由于方程两边同时乘上积分因子，若考虑e^c的话，
就是方程两边同时乘上一个常数，对右侧来说，对一个函数积分，和对一个乘了常数
e^c的函数积分，并不影响积分的结果，只是多一个或少一个乘上去的常系数而已，
而左侧的全微分的结果，同样也有这个乘上去的常系数，最后还是约分约去。这就是
我说的没有贡献，也没有影响的意思所在。

换一种说法：
c既然是常数，而且是e的index(幂)，e^c也就是常数，若这个常数跟随着积分因子，
也就是乘在积分因子前面，变成了积分因子(I=Integral Factor)的系数(Coefficient)，
这是一个常系数(Constant)。在积分时。常系数都可以提取到积分符号外面来。

由于积分因子是同时乘在微分方程两侧的，而微分方程乘上积分因子之后，两边都得
同时积分，只有同时积分，左边才能一下子将有导函数与元函数的代数和的整体一下
子彻底积出来。否则，找积分因子就是毫无意义的事情了。左右两边同时积分，两边
的这个常系数同时提出到积分符号外，就可以同时约去。如果不约去，最后的答案中
一定会出现分子分母同时具有相同的这个常系数，还是得reduce/cancel，即约去。

这就是算积分因子时，为什么不考虑e的指数上有一个积分常数的原因了。

当然，如果一定要写出一个e^c也是可以的，只是最后还是被cancel掉，约掉。

不知道这样，我讲明白了没有？楼主理解了没有？欢迎继续追问，有问题一起讨论。

Answer 3

是一样的.设加上常数a,实际上就是e^a.它与括号里面的任意常数C的乘积可合并为新的常数D.与括号里的第二项的乘积就约掉了(注意你代入∫e^(p(x)dx进入后面积分时,有个e^(-a)同样要代入)

Answer 4

[高数]变限积分求导易错点