Question

求1/根号下（1+x^4）的不定积分，有根号的！！

Answer 1

解题过程如下：

1/√(1+x^4)

=(1+x^4)^(-1/2)

=1-(1/2)x^4+(-1/2)(-1/2-1)/2!·x^8+…+(-1/2)(-1/2-1)…(-1/2-n+1)/n!·x^(4n)+…

=1+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!/(2n)!·x^(4n),x∈(-1,1)

∫1/√(1+x^4)·dx

=x+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!/[(4n+1)·(2n)!]·x^(4n+1)+C

=∑(n:0→∞)(-1)^n·(2n-1)!/[(4n+1)·(2n)!]·x^(4n+1)+C,x∈(-1,1)

扩展资料

求函数积分的方法：

设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分。

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

Answer 2

原函数不能表示为初等函数

1/√(1+x^4)
=(1+x^4)^(-1/2)
=1-(1/2)x^4+(-1/2)(-1/2-1)/2!·x^8+…+(-1/2)(-1/2-1)…(-1/2-n+1)/n!·x^(4n)+…
=1-1/2·x^4+1·3/(2^2·2!)·x^8+…+(-1)^n·1·3…(2n-1)/(2^n·n!)·x^(4n)+…
=1+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!!/(2n)!!·x^(4n)，x∈(-1,1)

∫1/√(1+x^4)·dx
=x+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!!/[(4n+1)·(2n)!!]·x^(4n+1)+C
=∑(n:0→∞)(-1)^n·(2n-1)!!/[(4n+1)·(2n)!!]·x^(4n+1)+C，x∈(-1,1)

!!表示双阶乘。设n为自然数
(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)…5·3·1
(2n)!!=(2n)(2n-2)…6·4·2
为便于计算，规定(-1)!!=0!!=1!!=1

追问

请问一下这个1-(1/2)x^4+(-1/2)(-1/2-1)/2!·x^8+…+(-1/2)(-1/2-1)…(-1/2-n+1)/n!·x^(4n)+…是怎么得到的额？谢谢了！

追答

二项式展开成x的幂级数：
(1+x)^α=1+αx+α(α-1)/2!·x^2+…+α(α-1)…(α-n+1)/n!·x^n+…，x∈(-1,1)
α取不同的值，可以得到不同的二项式展开式

Answer 3

arcsinx平方+c

追问

这个是加号，不是减号.

追答

喔。知道了，刚看错了，三角换元。把x平方看作tant，问题迎刃而解。