Question

已知点A（0,-3）,B（2,3），点P在x^2=y上，当三角形PAB面积最

已知点A（0,-3）,B（2,3），点P在x^2=y上，当三角形PAB面积最小时，点P的坐标是？

Answer 1

AB确定
当三角形PAB面积最小时，AB边上的高最小
即点P到直线AB上的距离最小
此时的P应该是y=x²的切线斜率为k(AB)时的切点
因为k(AB)=(3+3)/(2-0)=3
y=x²
y'=2x
令y'=2x=3
得x=3/2
所以y=x²=9/4

所以点P的坐标是(3/2,9/4)

Answer 2

A(-3,0),B(2,3)=>AB=√34且直线AB：3x-5y+9=0
设P(x,x²),d为P到直线AB：3x-5y+9=0的距离，
则d=l6x-5x²+9l/√34=l-5(x-4/5)²+61/5l/√34≤61/5√34
∴S△PAB=AB*d/2≤61/5√34

此时P(4/5,16/25)