Question

矩阵的初等变换与初等矩阵

设矩阵A=丨1 -2 2丨 B=丨1 0 1丨 问 是否存在可逆阵P，使得PA=B?

丨2 2 1丨 丨0 2 -1丨

丨4 -2 5丨 丨0 0 0丨
若存在，试求P。

Answer 1

这个题首先先看A和B的rank，因为PA=B，rank(B)=min(rank(P),rank(A))，所以假如B的rank小于A的rank，P的rank肯定小于A的rank，这时候P就不可逆 就无解了。但是这里rank(A)=rank(B)=2，所以P的rank肯定大于或等于2，当P的rank等于3时可逆。至于要怎么解P呢，我的解法是把PA=B转换一下，变成A'P'=B'，然后先解出P'，用的方法是高斯消去法把P'每个列的向量空间都解出，然后再转换成P。用计算机算一下得到P={{1/3 - 2 r, 1/3 - r, r}, {-2/3 - 2 s, 1/3 - s, s}, {-2 t, -t, t}}，就是所有向量空间的解，r,s,t分别为任意实数。这时候可以用高斯消去法消去P' 来检验P的rank，消去完的P’变成{{1,0,0},{1,1,0},{r,s,t}}。也就是说，P的rank只和t有关，当t不为0时，P的rank等于3，且可逆。所以P的通解是{{1/3 - 2 r, 1/3 - r, r}, {-2/3 - 2 s, 1/3 - s, s}, {-2 t, -t, t}}，r,s为任何实数，t不为0。

顺便帮你算一下P^-1=
{{1, -1, (-r + s)/t}, {2, 1, -((2 r + s)/t)}, {4, -1, (1 - 4 r + s)/t}}

追问

完全看不懂。。rank是啥。。。高斯消元明白。。

Answer 2

线性代数
明天和你说，现在没纸和笔，不好意思喽~