设函数f(x)对任意实数满足等式f(2x)=f(x),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)必为常数
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对任一x,
考虑序列
x, x/2, ..., x/2^n,....
此序列 趋于0，且 f(x)=f(x/2)=...=f(x/2^n)=..., 因为f(x)在x=0处连续，
所以 f(0)=lim(n-->无穷大）f(x/2^n) =lim(n-->无穷大） f(x)=f(x)
即 f(x)=f(0) 为常数
考虑序列
x, x/2, ..., x/2^n,....
此序列 趋于0，且 f(x)=f(x/2)=...=f(x/2^n)=..., 因为f(x)在x=0处连续，
所以 f(0)=lim(n-->无穷大）f(x/2^n) =lim(n-->无穷大） f(x)=f(x)
即 f(x)=f(0) 为常数
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