Question

设f(x)对任意x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续，证明f(x)在R上连续

Answer 1

任给x,t,
lim(t-->0)f(x+t)=lim(t-->0)f(x)+f(t)
=f(x)+ lim(t-->0)f(t)
=f(x)+f(0) ------ 因为f(x)在x=0处连续
=f(x+0)
=f(x)

所以 f 在x处连续。
所以f在R上连续。

Answer 2

证明：

f(0+x)=f(x)+f(0)
f(0)=0
f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
f(x)在R上是奇函数，故在R上连续。