设向量组α1,α2,α3线性无关,记β1=α1,β2=α2+2α3,β3=α1+2α2+3α3,证明β1,β2,β3也线性无关
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此题可用反证法
证明：假设β1,β2,β3也线性相关
则 存在不全为0的k1,k2,k3使得 k1β1+k2β2+k3β3=0
得到k1α1+k2（α2+2α3）+k3（α1+2α2+3α3）=0
得到（k1+k3）α1+（k2+2k3）α2+（2k3+3k3）α3=0
k1，k2,，k3不全为0 得到k1+k3，k2+2k3，2k3+3k3不全为0（反证法：假设k1+k3，k2+2k3，2k3+3k3全为0，则k1，k2,，k3不全为0，与题意矛盾）
所以α1,α2,α3线性相关，与题意矛盾
所以β1,β2,β3线性无关
证明：假设β1,β2,β3也线性相关
则 存在不全为0的k1,k2,k3使得 k1β1+k2β2+k3β3=0
得到k1α1+k2（α2+2α3）+k3（α1+2α2+3α3）=0
得到（k1+k3）α1+（k2+2k3）α2+（2k3+3k3）α3=0
k1，k2,，k3不全为0 得到k1+k3，k2+2k3，2k3+3k3不全为0（反证法：假设k1+k3，k2+2k3，2k3+3k3全为0，则k1，k2,，k3不全为0，与题意矛盾）
所以α1,α2,α3线性相关，与题意矛盾
所以β1,β2,β3线性无关
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