Question

高等数学函数，求定义域

题目：设f(x)的定义域D=[o,1]，求下列各函数的定义域：
（1）f(sinx) (2)f(x+a)+f(x-a)(a＞0)

这两个函数的定义域怎么求呢？ 求解答过程。

Answer 1

定义域是中国汉语内的一个词汇，表示是数学内的术语。函数中，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域。例如Y=aX²+bX+c中的定义域即是X的取值范围。

抽象函数定义域的常见题型有三种：
类型一
已知
的定义域，求
的定义域.
例1.已知
的定义域为（-1，1），求
的定义域.
略解：由
有
∴
的定义域为（0，1）
类型二
已知
的定义域，求
的定义域.
例2.已知
的定义域为（0，1），求
的定义域.
解：已知
，设
∴
的定义域为（-1,1）
注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。
类型三
已知
的定义域，求
的定义域.
例3.已知
的定义域为（0，1），求
的定义域。
略解：如例2，先求出
的定义域为（-1，1），然后如例1
有
，即
∴
的定义域为（0，2）
指使函数有意义的一切实数所组成的集合。
其主要根据：
①分式的分母不能为零
②偶次方根的被开方数不小于零
③对数函数的真数必须大于零
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1
例4.已知
，求
的定义域。
略解：
且
∴
的定义域为
注意：答案一般用区间表示。
例5.已知
，求
的定义域。
略解：由
有
即
∴
的定义域为（-1，2）
类型四
函数应用题的函数的定义域要根据实际情况来求解。
例6.某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x（件）（
）的关系符合如下规律：

x

1

2

3

4

…

89

p

2/99

1/49

2/97

1/48

…

2/11

又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元.
求该厂日盈利额T（元）关于日产量x（件）的函数；
解：由题意：当日产量为x件时，次品率
则次品个数为：
，正品个数为： 所以
即
且1≦x≦89)

Answer 2

依题意可得
0<=sinx<=1
得到2kπ<=x<=2kπ+π(k属于整数)
所以f(sinx)的定义域是2kπ<=x<=2kπ+π(k属于整数)
(2)依题意可得
0<=x+a<=1
0<=x-a<=1(a>0)
得到当1-a>=a
即a<=1/2时
a<=x<=1-a
当a>1/2时，无解

Answer 3

(1)sinx属于[0,1]，得定义域为{x|2kπ<=x<=(2k+1)π,k为整数}
(2)0<=x+a<=1，0<=x-a<=1，得定义域为：{1/2}(a=1/2)，[a,1-a](0<a<1/2)，∅(a>1/2)

Answer 4

依题意可得
0<=sinx<=1 得到2kπ<=x<=2kπ+π（k属于整数）

所以f(sinx)的定义域是2kπ<=x<=2kπ+π（k属于整数）
（2）依题意可得
0<=x+a<=1 0<=x-a<=1(a>0)
得到当1-a>=a 即a<=1/2时 a<=x<=1-a
当a>1/2时，无解

追问

第二题我不懂，为什么a与1/2有关？这里为什么分情况讨论？

追答

那不是有两个不等式吗?得到了两个解集后要求他们的交集，你在坐标轴上把他们画出来，就可以看出来什么时候交集存在什么时候他们不存在了》

追问

我知道哪里不懂了，0=a

追答

0<=x+a<=1 0<=x-a<=1
解分别是-a<=x<=1-a a<=x<=1+a（-a<1+a）
求交集就得到了 a<=x<=1-a(a<=1/2)
否则没有交集