Question

设点F1、F2分别为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左，右两焦点，直线l为右准线。

设点F1、F2分别为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左，右两焦点，直线l为右准线。若在椭圆上存在点M,使MF1，MF2，点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值范围是--------

Answer 1

解：设M（x，y）；l为右准线；
故MF₂=r₂=a-ex； MF₁=r₁=2a-r₂=2a-（a-ex）=a+ex；
MF₁，MF₂，d成等比数列，故有：r₂^2=dr₁，
即有（a-ex）2=（a+ex）（a-ex）/e，
化简得e（a-ex）=a+ex，故x/a=(e-1)/e(e+1)，
由于M在椭圆上，故-a≤x≤a，即有-1≤x/a≤1，
∴-1≤（e-1）/[e(e+1)]≤1；由于e-1＜0，
故只需考虑不等式的左边，即考虑-1≤(e-1)/[e(e+1)]，-e（e+1）≤e-1，
∴e^2+2e-1≧0，故得e≥根号（2）-1，
即e的取值范围为[根号（2）-1，1)．
故答案为：[根号（2）-1，1)．