Question

如图，抛物线y=-2分之1x²+bx+c与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，且OA=2，OC=3.

如图，抛物线y=-2分之1x²+bx+c与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，且OA=2，OC=3.
(1)求抛物线的解析式
(2)若点D（2,2）是抛物线上一点，则在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣2a分之b
过程，，，，，！！！！

过程！！要详细

Answer 1

解答：解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，
将A（-2，0）代入y=-1/2x2+bx+3得，-1/2×（-2）^2-2b+3=0，
解得b=1/2，
可得函数解析式为y=-1/2x^2+1/2x+3；

（2）连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．
设AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，-2k+b=02k+b=2，
解得，k=1/2 b=1，故直线解析式为y=1/2x+1，（-2＜x＜2），
由于二次函数的对称轴为x=-(1/2)/2×(-1/2)=1/2，
则当x=1/2时，y=1/2×1/2+1=5/4，
故P（1/2，5/4）．
（本题用待定系数法求二次函数解析式和轴对称---最短路径问题，先假设存在P，若能解出P的坐标，则P存在；否则，P不存在）

Answer 2

（1）A（-2，0），C（0，3），代入得 -2-2b+c=0 ，0+0+c=3 ，解得 b=1/2 ，c=3 ，
因此抛物线解析式为 y= -1/2*x^2+1/2*x+3= -1/2*(x^2-x-6) 。
（2）抛物线对称轴方程为 L：x=1/2 ，设 D 关于直线 L 的对称点为 D1（-1，2），
连接 BD1 ，它与 L 交于点P（1/2，5/4），此点即为使三角形 BDP 周长最小的点。
这是由于 BD+DP+PB=BD+PD1+PB>=BD+BD1 ，当 B、P、D1 共线时最小。
因此对称轴上存在满足条件的点P ，坐标为（1/2，5/4）。