Question

设函数f(x)=x^3-(a+1)x^2+4ax+b,其中a,b∈R

(3)若函数f(x)在(-1,1)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围。

Answer 1

题目是不是
设函数f(x)=x3/ 3 -(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R
这样才好算呀

∵f′（x）=x2-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
当a＞1时，2a＞2，∴f′（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
当a=1时，f′（x）=（x-2）2≥0，即f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．（9分）
当a＜1时，2a＜2，∴f′（x）＞0时，x＜2a或x＞2，即f（x）的单调递增区间为（-∞，2a）和（2，+∞）．

由题意可得：
a＜1
f′(-1)•f′(1)＜0
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴-1/2 ＜a＜1 /2
∴a的取值范围(-1/2，1 /2)
如果题目不是这样就按照这个方法来

Answer 2

f‘(x)=3x^2-2(a+1)x+4a=3[x-(a+1)/3]^2+4a-(a+1)^2 /9

|(a+1)/3|<1, -4<a<2

4a-(a+1)^2 /9 = 0

a=17±12√2,
综上，a=17-12 √2, b为任意实数

Answer 3

若函数f(x)在(-1,1)上有且只有一个极值点，则：f'(x)=0 有且仅有一个解，且 解值在(-1,1)。
f‘(x)=3x^2-2(a-1)x+4a ，若f‘(x)=0有且仅有一个解，则：Δ=0. 即：4(a-1)^2-48a=0 有解，经计算a在实数集内上式有解。又因为F'(x) 解在(-1,1)，所以 4(a+1)/6∈(-1,1) 求得a∈(-5/2,1/2)

Answer 4

就是f的导数在（-1，1）仅有一个零点，然后用根的分布解，楼主可懂？