Question

定义在R上的函数y=f(x)，对任意的a，b∈R，满足f(a+b)=f(a)×f(b)，当x>0时，其中f(1)=2 (1)求f(0)的值

2)求f(-1)的值并判断该函数的奇偶性

解：（1）∵a，b是任意实数，∴可令a=1，b=0有：
f（1+0）=f(1)f(0)
又∵f（1）=2
∴f（0）=1
（2）令a=1，b=-1有：
f（1+（-1））=f（1）f（-1）
又f（0）=1，f（1）=2
∴f（-1）=1/2
∵f（1）=2，f（-1）=1/2
∴f（1）≠f（-1）且f（1）≠-f（-1）
∴函数f（x）为非奇非偶函数；
我有个地方不懂 这里求f(0)，括号里的0是不是要求f(x)里有个未知数是0，然后这样去算？还有这里a,b的取数是怎样的？是自己结合题意取比较好算的数？还有这步 f（1+0）=f(1)f(0) f（1+（-1））=f（1）f（-1） 写出来没什么用处啊、、、

Answer 1

分析：从题目中函数具备的条件看，它应该是指数函数类型的。常考的还有一次函数f(a+b)=f(a)+f(b)+c；对数函数类型f(ab)=f(a)*f(b),从而可以意识到本题函数非奇非偶，如果不知道的话，题意也正通过求几个值来提醒我们。
解疑：函数是一个映射，原本一个值，经操作f变成另一个值。求f(0)就是求0经f操作后边成什么值。这里取数的话，题目中告诉了1点的函数值，我们要求0点， 判断为非奇非偶的话得计算-1点的值。算0点值必须把0和另一数代人，f(a+0)=f(0)*f(a)=f(a),由于零点仅有一个函数值，这时我们最好代一个已经知道不等于0的点，这样0点函数值就知道了，求-1点函数值的话，紧抓1+（-1）=0即可已经知道两点函数值了，第三个也就知道了。
延伸：我们很明确该函数是f(x)=2^x (由函数类型和1处函数值可得),我们可以求f(4),f(1/2)等
f（4)=f（3）*f(1)=f(2)*f（1）^2=f(1)^3=8
f(1)=f(1/2）^2=2 ,f(1/2)=sqrt(2)
附：原则上上面条件可以求出所有有理数点函数值和非超越无理数点值，你可以尝试求出有理数点的函数表达式，拓展到实数集需要大学内容。

追问

这里a,b在f(x)中，当f(0)时。是不是使其中一个为0这样来算？

追答

是啊，这里的a,b可以随便赋值

追问

哦。懂了。谢谢。

追答

好奇怪，你为什么还不选出最答案呢！

Answer 2

（1）对于任意x，存在f（x+0）=f(x)f(0),
即f(x)=f(x)f(0), 得 f(0)=1
(2)对于任意的x有
f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x) =1
f(x)=1/f(-x)
可得f(x)非奇非偶。

追问

f(0)是不是令其中的一个未知数为0？

追答

f(0)是f(x)在0处的值，怎么会是未知数呢，f(x)只是个抽象函数啊、

追问

f(0)中的0要怎样写进式子。这里的）∵a，b是任意实数，∴可令a=1，b=0有：
f（1+0）=f(1)f(0)
不是有a与b么？为什么令其中一个是0.那岂不是那样理解么？

追答

那个题，老师出的没水平，我的回答都没用当x>0时，其中f(1)=2，还用理解什么，不过是用来唬弄你、

Answer 3

1.f(0)就是当x=0的时候f(x）的值
2.问题是要求f(0)等于多少，题目中已给f(1)，故a,b要往0和1上靠
3.写出来能让改题的人看的懂，不然他不知道你在作甚……

追问

第一问题。知道X=0。但这个式子中不是有a,b两个未知数。是不是令一个为0？

追答

对，它答案又说令a=1,b=0,到底是a=0还是b=0这个无所谓的，只要有一个是0一个是1就行。

追问

哦。这样啊。上面的回答者听不懂我说的。采纳你咯。

追答

谢谢~

Answer 4

可恶的数学啊！