Question

当x→0时，下列变量与x相比为等价无穷小量的是

当x0时，下列变量与x相比为等价无穷小量的是

A. sinx-x^2
B.x-sinx
C.x^2-sinx
D.1-cosx

答案是A，为什么？

Answer 1

A. sinx-x^2

因为
lim【x→0】【sinx-x^2】/x
=lim【x→0】【sinx/x】-lim【x→0】x^2/x
=1-0
=1
所以
选A

追问

您好，追问一下，无穷小不是0吗？为什么是1？这个地方我不明白，请您详细说一下，谢谢了啊。

追答

无穷小极限是0
但两个等价的无穷小相除极限=1

Answer 2

等价无穷小，即二者的比值的极限为1，当x趋于0时
对A来说，当x趋于0时，由于x^2比sinx更快的趋于0，故可舍去，及sinx-x^2等价于sinx，即等价于x
对B来说，可以求下比值的极限，为0
对c来说，同A的分析，等价于-sinx，等价于-x
对D来说，等价于0.5x^2，不等价于x
故选 A

追问

您好，追问一下，无穷小不是0吗？为什么是1？这个地方我不明白，请您详细说一下，谢谢了啊。

Answer 3

判断是否等价，其实是这样判断的。即求lim(sinx-x^2)/x的值，当值为1时，说明明在趋近零时他们等价。
因为是0/0型，所以上下同时求导，即为lim(cosx-2x),此时可以将0代入计算，
计算结果为1 所以A正确

Answer 4

x趋向于0时，lim(（sinx-x^2）/x)=lim(sinx/x-x)=lim(sinx/x)-limx=1-0=1
因此说a是等价无穷小
此题要明白等价无穷小的定义，极限的基本公式（ lim(sinx/x）x→0 )

Answer 5

X趋近于0的时候 A项可以拆开为两项 前边的是重要极限 等于1 后边X^2是X的高阶无穷小 是0 最后结果是1 所以就是等价无穷小