Question

初三几何，请回答第二问，已知,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC,AD为∠BAC

已知： △ABC中，∠ACB=2∠ABC，AD为∠BAC的平分线，E为线段AC上一点，过E作AD的垂线交直线AB于F. （1）当E点与C点重合时（如图1），求证：BF=DE； （2）连接BE交AD于点N，M是BF的中点，连接DM（如图2），若DM⊥BF，DC=4，S△ABD：S△ACD=3：2，求DN的长

Answer 1

方法1：解：因为角ACB=2角ABC
所以AB>AC
所以在AB上截取AG=AC
因为AD是角BAC的角平分线
所以BD/CD=AB/AC
BN/NE=AB/AE
角DAG=角DAC
因为AD=AD
所以三角形DAG和三角形DAC全等（SAS)
所以DG=CD
角AGD=角C
因为角AGD=角ABC+角BDG
所以角ABC=角BDG
所以BG=DG
因为CD=4
所以DG=BG=4
因为S三角形ABD：S三角形ADC=BD：CD=3：2
所以BD=6
所以AB：AC=3：2
在直角三角形BMD和直角三角形BMD中，角BMD=90度
由勾股定理得：
BD^2=DM^2+BM^2
DG^2=MG^2+DM^2
因为BM=BG+MG=4+MG
所以BM=4.5
因为M是BF的中点
所以BF=9
因为AG+BG=AC+4=AB
所以AB=12
AC=8
AF=AB-BF=12-9=3
因为AE=AF
所以AE=3
所以BN/NE=AB/AE=12/3=4/1
所以BN/BE=4/5
分别过点N,E作NH垂直BC于H，EQ垂直BC于Q
所以NH平行EQ
所以NH/EQ=BH/BQ=BN/BE=4/5
BC=BD+CD=6+4=10
在三角形ABC中，由余弦定理得：
cos角C=(AC^2+BC^2-AB^2)/2*AC*BC=(8^2+10^2-12^2)/2*10*8=1/8
在直角三角形EQC中，角EQC=90度
CQ^2=EQ^2+CQ^2
所以cos角C=CQ/CE=CQ/(AC-AE)=CQ/(8-3)=CQ/5
所以CQ=5/8
BQ=BC-CQ=75/8
EQ=15倍根号7/8
EH=(15倍根号7/8)*(4/5)=3倍根号7/2
BH=(75/8)*(4/5)=15/2
DH=BH-BD=3/2
在直角三角形EDH中，由勾股定理得：
DN^2=DH^2+EH^2=(3/2)^2+(3倍根号7/2)^2=18
DN=3倍根号2
方法2：解：因为角ACB=2角ABC
所以AB>AC
所以在AB上截取AG=AC
因为AD平分角BAC
所以BD/CD=AB/AC
BN/EN=AB/AE
角DAG=角DAC
因为AD=AD
所以三角形ADG和三角形ADC全等（SAS)
所以DG=CD
角AGD=角ACB
因为S三角形ABD：S三角形ADC=BD：CD=3：2
CD=4
所以BD=6
DG=4
AB/AC=3/2
因为角AGD=角ABC+角GDB
角ACB=2角ABC
所以角ABC=角GDB
所以BG=DG=4
因为DM垂直BF于M
所以角BMD=90度
所以由勾股定理得：
BD^2=BM^2+DM^2
DG^2=DM^2+MG^2
BM=BG+MG=4+MG
所以BM=4.5
MG=0.5=1/2
MG/DG
=1/8
因为点M是BF的中点
所以BM=1/2BF
所以BF=9
因为AB=AG+BG=AC+4
所以AB=12
AF=AB-AF=3
因为AE=AF
所以AB/AF=12/3=4/1
所以BN/BE=4/5
分别过点N,E作NH垂直BC于H,EQ垂直BC于Q
所以NH平行EQ
所以BN/BE=NH/EQ=BH/BQ=4/5
因为角AGD=角ACB（已证）
角DMG=角EQC=90度
所以三角形DMG和三角形EQC相似（AA)
所以MG/DG=CQ/CE
因为CE=5
所以CQ=5/8
BC=BD+CD=BQ+CQ=10
BQ=75/8
BH=15/2
在直角三角形EQC中，角EQC=90度
由勾股定理得：
CE^2=EQ^2+CQ^2
所以EQ=15倍根号7/8
EQ=3倍根号7/2
BH=BD+DG=15/2
所以DH=3/2
在直角三角形EDH中，角EHD=90度
由勾股定理得：
DN^2=EH^2+DH^2
所以DN=3倍根号2