Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点，PA=3，PB=1，PC=CD=2，CD⊥PC。

（1）△CAP与△CBD全等吗？为什么？（2）求∠BPC的度数。

Answer 1

1、∵CD⊥PC即∠PCD=90°
∠ACB=90°
∴∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP=90°
∴∠BCD=∠ACP
∵AC=BC，CD=PC
∴△CAP≌△CBD(SAS)
2、将△CBP绕C旋转到BC和AC重合，得△CAM≌△CBP，连接PM
∴∠BCP=∠ACM，∠CPB=∠CMA
PC=MC=2，PB=MA=1
∴∠PCM=∠ACM+∠ACP=∠BCP+∠ACP=∠ACB=90°
∴PM=√(PC²+MC²)=(2²+2²)=2√2
∠CMP=45°
∴PA²=3²=9
AM²=18=1
PM²=(2√2²=8
∴PM²+AM²=8+1=9=PA²
∴△AMP是直角三角形
∴∠AMP=90°
∴∠CPB=∠CMA=∠PCM+∠AMP=45°+90°=135°