如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,PA=3,PB=1,PC=CD=2,CD⊥PC。
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1、∵CD⊥PC即∠PCD=90°
∠ACB=90°
∴∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP=90°
∴∠BCD=∠ACP
∵AC=BC,CD=PC
∴△CAP≌△CBD(SAS)
2、将△CBP绕C旋转到BC和AC重合,得△CAM≌△CBP,连接PM
∴∠BCP=∠ACM,∠CPB=∠CMA
PC=MC=2,PB=MA=1
∴∠PCM=∠ACM+∠ACP=∠BCP+∠ACP=∠ACB=90°
∴PM=√(PC²+MC²)=(2²+2²)=2√2
∠CMP=45°
∴PA²=3²=9
AM²=18=1
PM²=(2√2²=8
∴PM²+AM²=8+1=9=PA²
∴△AMP是直角三角形
∴∠AMP=90°
∴∠CPB=∠CMA=∠PCM+∠AMP=45°+90°=135°
∠ACB=90°
∴∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP=90°
∴∠BCD=∠ACP
∵AC=BC,CD=PC
∴△CAP≌△CBD(SAS)
2、将△CBP绕C旋转到BC和AC重合,得△CAM≌△CBP,连接PM
∴∠BCP=∠ACM,∠CPB=∠CMA
PC=MC=2,PB=MA=1
∴∠PCM=∠ACM+∠ACP=∠BCP+∠ACP=∠ACB=90°
∴PM=√(PC²+MC²)=(2²+2²)=2√2
∠CMP=45°
∴PA²=3²=9
AM²=18=1
PM²=(2√2²=8
∴PM²+AM²=8+1=9=PA²
∴△AMP是直角三角形
∴∠AMP=90°
∴∠CPB=∠CMA=∠PCM+∠AMP=45°+90°=135°
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