Question

已知x=1是方程ax²+bx+c=0的一个根，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于AB两点，交y轴于C（0,7/3）点，

顶点为M对称轴x=4与x轴交于N点，P为对称轴上的一个动点探究：是否存在同时于直线OM和x轴都相切的圆P，若存在，请求出圆P的半径及圆心坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

由x=1是方程的根得，a+b+c=0,……（1）
由对称轴是x=4得，-b/2a=4……（2）
由抛物线过（0,7/3）点得c=7/3……（3）
联立三式，解得a=1/3,b=-8/3,c=7/3.
从而抛物线为y=1/3(x²-8x+7).易得，AB两点坐标为（1,0）和（7,0）.
由于P在对称轴上，要使圆P同时与直线OM和x轴都相切，则P到两直线的距离要相等。
那么，作角MON的角平分线交对称轴于一点P，此点即为所求的。
将对称轴x=4代入抛物线式子，得顶点M坐标为（4，-3）
tan角MON=3/4.由半角公式得tan角PON=1/3.所以得NP=3*（1/3）=1
因此，圆心P的坐标为（4，-1）。
圆的半径即为P到x轴的距离，即半径r=1.

追问

那若以P点为圆心，OM长为半径的圆经过C点，圆O与y轴的另一个交点是？还有！！我没学过半角公式能不能再换一种解法？