Question

大学数学题目

计算积分：I=∫ 0^+∞ (e^(-2x)) . (sinbx-sinax)/x dx, (b>a)

求这类积分的方法是怎么样的？求详细过程和解释，谢谢

Answer 1

解：∵∫e^(-2x)cos(xy)dx=e^(-2x)[ysin(xy)-2cos(xy)]/(y²+4) (应用分部积分法)
∴∫<0,+∞>e^(-2x)cos(xy)dx=2/(y²+4) (应用极限知识求解)
∵(sinbx-sinax)/x=∫<a,b>cos(xy)dy
∴∫<0,+∞>[e^(-2x)(sinbx-sinax)/x]dx=∫<0,+∞>e^(-2x)[∫<a,b>cos(xy)dy]dx
=∫<a,b>[∫<0,+∞>e^(-2x)cos(xy)dx]dy
=∫<a,b>[2/(y²+4)]dy
=∫<a,b>d(y/2)/[1+(y/2)²]
=arctan(y/2)+C (C是积分常数)。