Question

1/3<=1/(1*3)+1/(3*5)+------+1/[(2n-1)*(2n+1)] <1/2,(n 为正整数).

Answer 1

∵1/(1*3)＋1/(3*5)＋···＋1/[(2n-1)*(2n+1)]
= (1/2) × { [ (1/1－1/3)＋(1/3－1/5)＋···＋[1/(2n-1)－1/(2n+1) ] }
= (1/2) × [ 1/1－1/(2n+1) ]
= n/(2n+1)
= [(2n+1)/2－1/2] / (2n+1)
= 1/2－1/(4n+2)
而1/(4n+2)是减函数，n越小值越大
故 0＜1/(4n+2) ≤ 1/(4×1+2)=1/6
即－1/6 ≤－1/(4n+2) ＜0
∴1/3 = 1/2－1/6 ≤ 1/2－1/(4n+2) < 1/2－0 = 1/2
∴1/3 ≤ 1/(1*3)＋1/(3*5)＋···＋1/[(2n-1)*(2n+1)] <1/2

追问

对不起，因为我只是初一的学生，请再讲的详细一点好吗？谢谢

追答

这是高中的题目，涉及“数列求和”、“函数单调性”或者“不等式证明”。这些您一个都没学到，当然看不懂了。等学到了相信您自然就会了。不过我非常喜欢“小”学生做“大”学生的题的同学，就是喜欢您，和您喜欢钻研的勇气。相对您的知识水平，另解答如下，希望能看懂。如果还不懂，没关系，以后会懂的。祝您天天进步！！！
解：（1）先把中间的和算出来：
∵1/(1*3)=1/3
1/(1*3)＋1/(3*5)=5/(3*5)+1/(3*5)=6/(3*5)=2/5
1/(1*3)＋1/(3*5)+1/(5*7)=2/5+1/(5*7)=(2*7)/(5*7)+1/(5*7)=15/(5*7)=3/7
1/(1*3)＋1/(3*5)+1/(5*7)＋1/(7*9)=3/7+1/(7*9)=(3*9)/(7*9)+1/(7*9)=28/(7*9)=4/9
看到什么规律了：每行的结果都是分数，而且分母是连续的奇数，并且是所在那一行的第一个和式的最后那个数；分子就交给您了。
∴ 1/(1*3)＋1/(3*5)＋···＋1/[(2n-1)*(2n+1)] = n/(2n+1)
这种解题方法叫做“归纳法”，就是看规律法。
（2）下面证明：1/3 ≤ n/(2n+1)
去分母，可写成 2n+1≤ 3n 即 1≤ n 这个式显然成立。故 1/3 ≤ n/(2n+1) 成立。
（3）同理证明： n/(2n+1) <1/2
此式 等价于 2n < 2n+1 等价于 0<1 这个式也显然成立。故 n/(2n+1) <1/2 成立。
综上：1/3 ≤ 1/(1*3)＋1/(3*5)＋···＋1/[(2n-1)*(2n+1)] <1/2 成立。