Question

已知指数函数y=g(x)满足g(-3)=1/8,定义域为R的函数f(x)=g(x)+a/g(x),且f(x)的图像过点（0，-1)

（1）求函数f（x）、g（x）的解析式（2）求证f（x）的单调增函数（3）对任意t属于R不等式f（t^2-2t)>f(k-2t^2)恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），
对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：
g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0​
，于是可求m的范围．
（1）解：（Ⅰ）f′(x)=
a(1-x)x
(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=-
a2
=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(
m2
+2)x2-2x，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴
g′(t)＜0g′(3)＞0​
(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：
g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0​
，∴-
373
＜m＜-9（10分）
（Ⅲ）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜
lnnn
＜
n-1n

∴
ln22
•
ln33
•
ln44
••
lnnn
＜
12
•
23
•
34
••
n-1n
=
1n
(n≥2，n∈N*)
（2）解；）f(x)=e^x+a/e^x，f'(x)=e^x-a/e^x
f(x)>0时，y=|f(x)|=f(x)单调递增，则有
y'=f'(x)=e^x-a/e^x>0，解得a<e^2x
∵x∈[0,1]，∴e^2x∈[1,e^2]，∴a<1
f(x)<0时，y=|f(x)|=-f(x)单调递增，则有
y'=-f'(x)=-e^x+a/e^x>0，解得a>e^2x
∵x∈[0,1]，∴e^2x∈[1,e^2]，∴a>e^2
即a<1或a>e^2时，y=|f(x)|在[0,1]上单调递增
（2）h(x)=(1/2)*(x^2-3x+3)*[f(x)+f'(x)]
=(1/2)*(x^2-3x+3)*(2e^x)
=(x^2-3x+3)e^x
h'(x)=(2x-3)e^x+(x^2-3x+3)e^x
=(x^2-x)e^x
g(x)=h'(x)/e^x=x^2-x=x(x-1)
s(t)=(2/3)*(t-1)^2
由曲线位置可知，当x1,t∈(-2,+∞)时，有
抛物线g(x)的位置总在抛物线s(t)的左边
即当x1,t∈(-2,+∞)时，过抛物线s(t)上任意点的水平线都与抛物线g(x)至少有一个交点
对于任意的t>-2，总存在x1属于(-2,t),满足等式(x-1)=(2/3)*(t-1)^2
抛物线g(x)与s(t)有两个交点，分别为(-2,6), (1,0)
当-2<t<1时，在(-2,t)上水平线与g(x)有一个交点
即满足等式的x1的解的个数为1个
当t≥1时，在(-2,t)上水平线与g(x)有两个交点
即满足等式的x1的解的个数为2个

Answer 2

(1)设指数函数y=g(x)=a^x，由g(-3)=1/8得：a^(-3)=1/8，所以a=2，所以g(x)=2^x
所以f(x)=(n-2^x)/(m+2^(x+1))，又函数f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)
即f(-x)=(n-2^(-x))/(m+2^(-x+1))=(n*2^x-1)/(m*2^x+2)=-f(x)=(2^x-n)/(m+2*2^x)
上式两边对比系数得：m=2,n=1，所以f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))
(2)由(1)知：f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))，所以f(x)=1(2^x+1)-1/2，所以f(x)在x∈R是减函数
又由不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0得：f(t²-2t)<-f(2t²-k)=f(k-2t²)
所以t²-2t>k-2t²，即k<3t²-2t=3(t-1/3)²-1/3
因为该不等式对任意的t属于R恒成立，所以k要小于3t²-2t的最小值，即k<-1/3
所以实数k的取值范围为(-∞，-1/3)